|
|
16. МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В УПРАВЛЕНЧЕСКОМ УЧЕТЕ
Основная проблема, которая решается при помощи линейного программирования,-.- оптимальное распределение ограниченных ресурсов для достижения поставленной цели, такой, как максимизация прибыли или минимизация потребляемых ресурсов. Все взаимозависимости между экономическими показателями в модели линейного программирования линейны. Данная модель широко применяется в таких отраслях, как очистка нефти, производство химических препаратов, обработка пищевых продуктов, где имеются многопродуктовые производства или многокомпонентные продукты.
Бухгалтеры, которые могут понять входные и выходные данные, предположения и ограничения линейного программирования, играют огромную роль в управлении предприятием. Модель линейного программирования используется при решении таких управленческих задач, как определение ассортимента (номенклатуры) продукции, замещение и сочетание исходных материалов, производственное календарное планирование, наиболее часто встречающихся в краткосрочных моделях распределения ресурсов. В этой модели предполагается, что есть данный набор ресурсов и эти ресурсы обеспечивают определенный уровень реальных затрат. Основная цель руководителя заключается в выборе видов товаров и услуг, а также объемов, которые следует производить (продавать).
16.1. Предположения, лежащие в основе модели линейного программирования
Ранее была продемонстрирована важность фактора ограниченности ресурсов для принятия решения об ассортименте продукции. Наиболее выгодный (прибыльный) продукт - это не всегда продукт с наивысшей маржинальной прибылью на изделие. Наоборот, наиболее прибыльный продукт - это тот, который приносит наибольшую прибыль на единицу ограничивающего ресурса или ограничивающего фактора, например такого, как имеющиеся суммарные машино-часы. На практике обычно существует более чем одно ограничение. Следовательно, проблема заключается в максимизации суммарной маржинальной прибыли при данном множестве ограничений. Модель линейного программирования (ЛП) используется при решении проблем, где предположение о линейности является приемлемым.
Применяя модель ЛП, мы предполагаем, что только один фактор - объем выпуска - вызывает изменение в суммарных затратах на продукцию. Все прочие затраты предполагаются фиксированными. Для многих краткосрочных решений это предположение достаточно приемлемо. Там, где это предположение неприемлемо, прибегают к другим моделям.
Пример. Определение оптимального ассортимента продукции. Компания производит моторы. На ее заводе собирают и испытывают моторы двух видов - для снегоходов и для лодок (подвесной). Каждая модель проходит два подразделения - цех сборки и цех контроля и испытаний.
Исходные данные:
 Предположим, что цех работает с мотором одного вида. Из таблицы видно, что цех сборки может собирать максимум 200 моторов для снегоходов (300 машино-ч: 1,5 машино-ч/шт. = 200 шт.) или 150 шт. для лодок (300 маши-но-ч: 2,0 машино-ч /шт. = 150 шт.). Аналогично цех контроля и испытаний может протестировать 120 моторов для снегоходов (120 шт.: 1 ч = 120 шт.) или 240 лодочных моторов (120 шт.: 0,5 ч = 240 шт.).
 Обобщим эти и другие релевантные данные. Отметим, что по моторам для снегоходов маржинальная прибыль на штуку составляет 200 ДЕ, а по лодочным моторам - 250 ДЕ на один мотор.
Известно также, что недостаток (некомплектность) исходных материалов для лодочных моторов будет ограничивать их производство до 126 моторов в день. Сколько моторов каждого вида должно быть произведено ежедневно, чтобы получить максимальную прибыль?
16.2. Этапы решения проблемы линейного программирования
Проблема линейного программирования решается в три этапа:
1. Определение цели. Целевая функция выражает определенную цель, которая должна быть максимизирована (например, операционная прибыль) или минимизирована (например, операционные затраты).
2. Определение основных взаимосвязей. Эти взаимосвязи включают ограничения, выраженные как линейные функции. Ограничение - это математическое неравенство (или равенство), которому должны удовлетворять все переменные в математической модели.
3. Нахождение оптимального решения. В случае, когда в целевой функции только две переменные и количество ограничений небольшое, для нахождения оптимального решения можно использовать графический метод и метод проб и ошибок. В более сложных случаях, которые возникают на практике, необходимы специальные пакеты программного обеспечения, например симплекс-метод.
На данных нашего примера опишем три этапа решения проблемы ЛП. Напомним, что А - это количество произведенных моторов для снегоходов, а В - количество произведенных лодочных моторов.
Этап 1. Определение цели. Главная цель - найти комбинацию продуктов, которая максимизирует суммарную маржинальную прибыль. Линейная функция, которая выражает эту цель, такая:
суммарная маржинальная прибыль = 200 ДЕ • А + 250 ДЕ • В.
Этап 2. Определение основных взаимосвязей. Взаимосвязи могут быть описаны неравенствами:
ограничение по цеху 1 (сборка) 1.5 • А + 2,0 • В ? 300;
ограничение по цеху 2 (контроль и испытание) 1,0 • А+0,5 • В ? 120;
ограничение из-за недостатка материалов
для изделия В В ? 126;
Так как отрицательное производство невозможно, A ? 0 и В ? 0.
На графике показаны три линии, характеризующие ограничения по цехам 1 и 2 и из-за недостатка материалов. Область возможных решений на графике показывает границы возможных комбинаций изделий, т.е. комбинации количеств моторов для снегоходов и лодочных моторов, которые удовлетворяют всем ограничивающим факторам. На графике эта область заштрихована.
Линейное программирование - графическое решение
 Этап 3. Нахождение оптимального решения. Для нахождения оптимального решения рассмотрим метод проб и ошибок, а затем графический метод.
16.3. Метод проб и ошибок и графический метод в определении оптимального решения
МЕТОД ПРОБ И ОШИБОК. Этот метод очень прост. Оптимальное решение может быть найдено в результате перебора координат углов области возможных решений.
1. Выбираем некоторую угловую точку и вычисляем суммарную маржинальную прибыль. Как видно на графике, область возможных решений имеет пять угловых точек. Полезно одновременно использовать уравнения для проверки координат. Например, точку (-4 =72, В = 96) найдем решением двух соответствующих неравенств как системы уравнений:
1,5 • А + 2,0 • В = 300 (ДЕ); (1)
1,0 • А + 0,5 • В = 120 (ДЕ). (2)
Умножая уравнение (2) на 1,5, получим
1,5 • А + 0,75 • В = 180 (ДЕ). (3)
Вычитая уравнение(3)из уравнения(1), имеем
1,25 • В = 120 (ДЕ);
В = 120:1,25 = 96 (ДЕ).
Подставляя значение В в уравнение (2), получим:
1,0 • А + 0,5 • 96 = 120 (ДЕ);
А = 120-48 = 72 (ДЕ).
Зная значения А и В, можем рассчитать суммарную маржинальную прибыль (СМП):
СМП = 200 ДЕ • 72 + 250 ДЕ • 96 = 34 400 ДЕ.
2. Двигаемся от одной угловой точки к другой и сравниваем СМП в данной точке с аналогичной величиной в каждой из ранее рассмотренных точек. Данные этих вычислений от угла к углу следующие:
 Оптимальная структура продукции составляет 72 мотора для снегоходов и 96 лодочных моторов.
Следует отметить, что метод проб и ошибок, а также графический метод полезны в случае двух или, возможно, трех переменных. Для решения проблемы линейного программирования со многими переменными эти методы непрактичны. Стандартные программные пакеты для персональных компьютеров реализуют в этом случае симплекс-метод, который представляет собой итеративный пошаговый процесс. Он начинается выбором одного возможного решения с последующим замещением его, если результат можно улучшить. Этот перебор продолжается до тех пор, пока дальнейшее улучшение перестает быть возможным.
Таким образом находят оптимальное решение.
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД. Согласно данному методу оптимальное решение должно находиться в одной из уголовых точек области возможных решений. Почему? Изучим все возможные комбинации, которые дадут одинаковую маржинальную прибыль, равную, скажем, 10 000 ДЕ. Другими словами,имеем
200ДЕ •А = 250ДЕ • В = 10000 ДЕ.
Это множество значений при маржинальной прибыли, равной 10 000 ДЕ, представлено прямой пунктирной линией через точки (А = 50; В = 0) и (А = 0; В = 40). Множества при других равных суммарных маржинальных прибылях могут быть представлены линиями, параллельными указанной линии. На графике мы видим три таких линии. Суммарная маржинальная прибыль увеличивается вместе с тем, как линии удаляются от первоначальной. Оптимальная линия есть самая дальняя от первоначальной линия, которая включает возможное решение. Эта точка есть угловая точка с координатами (А =72; В = 96). Вообще говоря, оптимальное решение для проблемы максимизации находится в угловой точке, где пунктирная линия пересекает крайнюю точку области возможных решений.
Угол наклона целевой функции (пунктирной линии, представляющей равную СМП) может быть найден из уравнения
СМП=200ДЕ•А+250ДЕ•В.
Для нахождения угла наклона (величины изменения В в результате одной добавочной единицы А) это уравнение следует разделить на коэффициент при переменной В и затем перенести В в левую часть уравнения:
СМП 200ДЕ
250 ДЕ = 250 ДЕ • А + В;
 Угол наклона целевой функции отрицателен и равен 200 ДЕ/ 250 ДЕ, или 4/5.
Графический подход обеспечивает очень простой и наглядный способ нахождения оптимального решения в модели ЛП, хотя его применение ограничено двумя продуктами в целевой функции (так как решение может быть представлено на двухмерном графике).
Резюме
Линейное программирование является наиболее популярным методом моделирования в принятии управленческих решений в случае, когда необходимо оптимизировать использование данного множества ограниченных ресурсов. Модель линейного программирования часто рассматривается как расширение моделей «затраты - объем - прибыль» и моделей распределения ресурсов в условиях многопродуктовых производств. Мы рассмотрели два метода нахождения оптимального решения - метод проб и ошибок и графический метод. Оба они позволяют понять, каким образом в модели линейного программирования выбирается оптимальное решение. Для использования этой модели на практике, когда есть большое количество продуктов и значительное число ограничений, следует применять методы, реализованные в стандартных компьютерных программах.
Приложение 1. Хозяйственная ситуация
Применение модели линейного программирования
Компания «Металлик» открыла новый цех по производству двух продуктов: металлических поддонов и аккумулирующих устройств. Этот цех готов начать работу, имея в распоряжении 5 металлоформовочных и 5 металлорежущих станков, которые взяты в аренду у местной арендной фирмы за 30 ДЕ в месяц для каждого станка. Производственная мощность каждого станка составляет 400 часов в месяц. Дополнительные станки не могут быть получены.
Количество машино-часов на производство единицы продукции:
 Бухгалтер цеха представил следующие данные: (ДЕ)
 Спрос на аккумулирующие устройства неограничен, а относительно поддонов «Металлик" полагает, что их можно продать не более 800 шт. в месяц. Сформулирована модель линейного программирования, и соответствующий график иллюстрируют эту ситуацию. «Металлик» рассчитывает максимизировать суммарную маржинальную прибыль от новых операций, придерживаясь некоторых ограничений. Компания намеревается достичь оптимального уровня, который определен в точке, обозначенной на графике ОР.
Модель линейного программирования
Максимизировать СМП= 4 ДЕ • П + 7 ДЕ • У
при условиях:
П+2-У?2000;
2 •П+2-У?2000;
ПС 800;
П, У э О,
где П- количество произведенных и проданных поддонов;
У- количество произведенных и проданных аккумулирующих устройств;
СМП- суммарная маржинальная прибыль.
Графическое представление
 Каждую из следующих ситуаций рассмотрите независимо.
А. Вычислите максимальную суммарную маржинальную прибыль, которая может быть получена, если цена продажи аккумулирующего устройства снизится с 27 до 23 ДЕ.
Б. Определите максимальную сумму, которая может быть потрачена на рекламу для того, чтобы увеличить спрос на поддоны до 1000 шт. в месяц.
В. Определите эффект влияния на операционную прибыль возврата одного металлоформовочного станка арендной фирмы, предполагая, что затраты на аренду устранимые.
Приложение 2. Домашние упражнения
Задания
1. Оптимальный производственный план. Корпорация «IT» собирает и продает два продукта - принтеры и компьютеры. Покупатели могут купить отдельно компьютер либо компьютер вместе с принтером. Принтеры отдельно от компьютера не продаются. В результате количество проданных принтеров меньше или равно количеству проданных компьютеров. Маржинальная прибыль на один компьютер составляет 100 ДЕ, а на один принтер - 200 ДЕ.
На сборку каждого принтера уходит 6 ч на производственной линии 1 и 10 ч на производственной линии 2, на сборку каждого компьютера-4 ч на производственной линии 1. (Многие узлы компьютера уже собраны внешними поставщиками.) Производственная линия 1 работает 24 часа в сутки, производственная линия 2-20 часов в сутки.
Пусть х- количество принтеров, a y - количество компьютеров.
А. Выразите все взаимосвязи в модели линейного программирования.
Б. Какая комбинация принтеров и компьютеров будет максимизировать операционную прибыль корпорации «IT». Используйте для решения задачи графический метод и метод проб и ошибок.
2. Минимизация затрат, структура удобрений. Агротехнический центр, по совету Сэма Брауна, решил распылить по крайней мере 4800 фунтов специального азотного удобрения и по крайней мере 5000 фунтов специального фосфатного удобрения, чтобы увеличить свой урожай. Никакие другие ингредиенты в чистом виде не нужны.
Дилер предлагает 100-фунтовые пакеты VIM по цене 10 ДЕ за каждый. Один пакет VIM содержит эквивалент 20 фунтов азота и 80 фунтов фосфата. Доступны также 100-фунтовые пакеты VOOM по цене 30 ДЕ за один пакет. Этот пакет содержит эквивалент 75 фунтов азота и 25 фунтов фосфата.
Пусть х - количество пакетов VIM, a y- количество пакетов VOOM.
Определите, сколько пакетов VIM и VOOM должен закупить агротехнический центр для того, чтобы получить необходимые удобрения при минимальных затратах. Решите проблему графически.
3. Оптимальный ассортимент продукции. Корпорация «Олвейс» располагает сетью продовольственных магазинов, открытых 24 часа в сутки. Каждый магазин имеет стандартную торговую площадь 40 000 футов2. Все товары классифицированы по двум группам: бакалейно-га-строномические и товары повседневного спроса. «Олвейс» требует, чтобы каждый магазин отводил минимум 10 000 футов2 под бакалейно-гастрономические товары и минимум 8 000 футов2 под товары повседневного спроса. В рамках этих ограничений управляющий магазина может выбирать ассортимент продукции.
Управляющий магазина в городегоценивает маржинальную прибыль на 1 фут2 площади:
бакалейно-гастрономические товары 10 ДЕ;
товары повседневного спроса 4 ДЕ.
А. Сформулируйте проблему, стоящую перед управляющим магазином, как модель линейного программирования. Буквой G обозначьте количества футов2 торговой площади для бакалейно-гастрономических товаров, а буквой D- футы2 площади для товаров повседневного спроса.
Б. Почему «Олвейс» устанавливает минимальные границы на торговые площади для каждого вида товаров?
В. Определите оптимальную структуру (ассортимент) двух видов товаров для магазина в городе Z. Используйте метод проб и ошибок и графический метод. В последнем случае на горизонтальной оси отметьте данные о бакалейно-гастрономических товарах, а на вертикальной оси - о товарах повседневного спроса.
Приложение 3. Вопросы для самопроверки
1. Использование моделей линейного программирования наиболее целесообразно для долгосрочных решемий, включающих линейные взаимосвязи:
а) да; б) нет.
2. Типичная целевая функция в модели линейного программирования:
а) максимизирует объем производства; б) минимизирует количество информации для специальных проектов; в) и то, и другое; г) ни то, ни другое.
3. Наиболее критической фазой линейного программирования является использование пакетов прикладных программ на компьютере:
а) да; б) нет.
4. Модели линейного программирования применимы к ситуациям, когда существуют более чем три ограничения:
а) да; б) нет.
5. Линия равной суммарной маржинальной прибыли на графике линейного программирования имеет такой же угол наклона, как и целевая функция:
а) да; б) нет.
6. Основные предположения в модели линейного программирования заключаются в следующем:
а) все затраты являются переменными; б) уравнения ограничений могут быть выражены в вероятностном виде; в) верно и то, и другое; г) не верно ни то, ни другое.
7. Компания планирует расширить свою деятельность по сбыту продукции открытием нескольких небольших филиалов. Для этого она располагает, капиталом 10 400 000 ДЕ. Компания рассматривает открытие только двух типов филиалов: с 20 служащими (тип А) и с 10 служащими (тип В). Первоначальные денежные вложения ожидаются в размере 1 300 000 ДЕ для филиалов типа А и 670 000 ДЕ для филиалов типа В. Ожидаемое годовое поступление денег от операций (прибыль) составляет 92 000 ДЕ для филиалов типаЛ и 36 000 ДЕ для филиалов типа В. Компания предполагает нанять не более 200 служащих для новых филиалов и открыть их не более 20. Для решения вопроса, сколько филиалов должно быть открыто, будет использоваться линейное программирование.
Какие из следующих уравнений в модели линейного программирования не являются ограничениями:
а) А + В ? 20; б) 20 • А + 10 • В ? 200, в) 92 000 • А + 36 000 • B ? 128 000; г) 1 300 000 • А + 670 000 • В ? 10 400 000.
8. Компания «Гант» производит продукты А и G. Удельная маржинальная прибыль на один галлон составляет 5 ДЕ для А и 4 ДЕ для G. Оба продукта состоят из двух ингредиентов, D и К'. Продукт А содержит 80% D и 20% К. Соотношение ингредиентов для G: 40% D и 60% К. Текущие запасы материала D- 16 000 галлонов, материала К- 6000 галлонов. Компания, производящая D и К, бастует, и в ближайшем будущем производство и поставка этих продуктов невозможны. Компания «Гант» хочет определить количество галлонов для продуктов Л и G, которое она должна произвести при существующих запасах основных материалов таким образом, чтобы максимизировать суммарные доходы:
х1 -количество галлонов А;
х2 - количество галлонов G;
х3 - количество галлонов D;
х4 - количество галлонов К.
Выберите правильный ответ для каждого требования. В пунктах Г и Д покажите вычисления.
А. Целевая функция в этой проблеме должна быть выражена:
1) Fmax = 0x1 + 0x2 + 0x3 + 5x4;
2) Fmax = 5x1 + 4x2 + 0x3 + 0x4;
3) Fmax = 5x1 + 4x2 + 0x3 + 0x4;
4) Fmax = x1 + x2 + 5x3 + 4x4;
5) Fmax = 4x1 + 5x2 + x3 + x4.
Б. Ограничение на количество материала D на складе должно быть выражено в виде:
1) x1 + x2 ? 16000;
2) x1 + x2 ? 16000;
3) 0,4x1 + 0,6x2 ? 16 000;
4) 0,8 x1 + 0,4x2 ?16000;
5) 0,8 x1 + 0,4x2 ? 16 000.
В. Ограничение на имеющееся количество материала К должно быть выражено в виде:
1) x1 + x2 ? 6000;
2) x1 + x2 ? 6000;
3) 0,8x1 + 0,2x2 ? 6000;
4) 0,8x1 + 0,2x2 ? 6000;
5) 0,2x1 + 0,6x2 ? 6000.
Г. Чтобы максимизировать суммарную маржинальную прибыль, компания «Гант» должна произвести:
1) 106 000 галлонов только A;
2) 90 000 галлонов А и 16 000 галлонов G;
3) 16 000 галлонов А и 90 000 галлонов G;
4) 18 000 галлонов А и 4000 галлонов G;
5) 4000 галлонов А и 18 000 галлонов G.
Д. Предполагая, что маржинальная прибыль на один галлон составляет 7 ДЕ для А и 9 ДЕ для G, компания «Гант» должна произвести:
1) 106 000 галлонов только А;
2) 90 000 галлонов Л и 16 000 галлонов G;
3) 16 000 галлонов А и 90 000 галлонов G;
4) 18 000 галлонов А и 4000 галлонов G;
5) 4000 галлонов Л и 18 000 галлонов G.
|
© 2006 "Управленческий учет Под редакцией А.Д. Шеремета". Все права защищены, по всем вопросам
|